Teorema di densità degli ingegneri

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Ci sono troppi ingegneri, ormai è un'emergenza nazionale. Purtroppo, però, anche un tempestivo intervento delle autorità competenti sarebbe del tutto vano, giacché vale il seguente

Teorema di densità degli ingegneri

Un ingegnere affascinato dalla densità delle matite.

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con , un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da e che rispetti le seguenti condizioni:

  • Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
  • Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato . Appare altresì evidente che sempre, giacché .

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato , e si indica con , un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: se

Dimostrazione: Sia per assurdo . Consideriamo ora l'insieme , con Se ora , allora contro le ipotesi. Se , considero . Se ora , assurdo, altrimenti si considera e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se .

Dimostrazione: In particolare per il Lemma 1. Ora, se , allora sarebbe perché per definizione , ma questo è assurdo perché per ipotesi. Allora , ed in particolare . CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con , una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto .

Proposizione 1: è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme finito dato è l'insieme stesso: sia dunque l'insieme di cardinalità massima in . È immediato osservare che tale insieme sarà proprio , per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass . Siccome quando c'è un tale casino che , è aperto. Ma per costruzione cittadina anche è aperto; ne segue che è sia aperto che chiuso. CVD.

Un team di ingegneri cerca di risolvere un'equazione di secondo grado.

Proposizione 2: Se aperto,

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione che ammette massimo al tempo quando è aperto. Siccome è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò è monotona. Nel momento , ogni elemento di è di accumulazione. Ma per definizione di gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento la situazione in diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge . CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con , un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiaino da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione .

Teorema (debole) di densità:

Dimostrazione:Basta mostrare che . Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia . Per il Lemma 1 . Si noti che l'unica differenza tra ed è il necessario per conseguire l'attestato cartaceo . Esiste una corrispondenza biunivoca tra e , data dall'isomorfismo laurea . Componendo , con ristretta a , otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere con la nella quale esso è contenuto se è aperto. Allora . Ma per la Proposizione 2, siccome è aperto, . Ora, . Per il Lemma 2 , e in particolare la tesi. CVD.

Sia l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente

Teorema (forte) di densità: L'insieme degli ingegneri è denso in .

Dimostrazione: Il teorema di densità debole garantisce la densità di in . Osserviamo che la densità dipende dal comportamento della funzione . Studiamone il comportamento agli estremi del dominio:

essendo aperta sul dominio di e chiusa fuori di esso. Per il principio di conservazione del corpo della gente, devono esistere e si conserva in un intorno sinistro (rispettivamente destro) di e . Applicando un analogo ragionamento a tutti gli intervalli , ,..., per opportuno, e rispettivamente ,..., per si ha la densità di in , e, quindi, in . Il continuo flusso di ogni verso l'esterno di , necessario per definizione al corretto funzionamento di una fermata della metropolitana, garantisce l'estendibilità del ragionamento anche in nel mentre dell'orario di esercizio . CVD.